联系电话:400-029-7370微博
微信公众号

主页 > 备考 > 复习资料 > 考研数学 > 正文

2017考研数学高频考点之——证明题大盘点

2017-05-09 14:12 来源:尚学考研


考研数学每年必考证明题,证明题都会出什么题?怎么证?下面尚学考研数学老师单能飞就带着即将参加考研的你来看看数学证明题的类别及证法。
考研数学难题一般出现在高等数学部分,高等数学题目中比较困难的是证明题,对历年考研真题分析得出最容易出证明题的地方如下:
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点,特别是数二最近几年考的非常频繁,已经考过好几次大的证明题,一般大题中涉及到数列极限的证明,用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点,其考试特点是综合性强,涉及知识面广,涉及到中值的等式主要是三类定理:
1.零点定理和介质定理;
2.微分中值定理;
包括罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理,其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题,考查频率底,所以以前两个定理为主。
3.积分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候,一般会把三类定理两两结合起来进行考查,所以要总结到现在为止,所考查的题型。
第一类是方程根的问题,包括方程根唯一性和方程根的个数的讨论题。
第二类是不等式的证明题,包括定积分等式和不等式的证明题。
主要涉及的方法有微分学的方法——常数变异法和积分学的方法——换元法和分部积分法。
以上是容易出证明题的地方,同学们在复习的时候要重点归纳这类题目的解法。那么,遇到这类的证明题,我们应该用什么方法解题呢?

第一步,结合几何意义记住基本原理
重要的定理主要包括零点定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。
知道基本原理是证明的基础,知道的程度不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在,求值是很容易的,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分的。
因为数学推理是环环相扣的,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列必有极限。只要知道这个准则,该问题就能轻松解决,因为对于该题中的数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多,更多的是要用到第二步。

第二步,借助几何意义寻求证明思路
一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释的,当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题,可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图,再联系结论能够发现:两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点,那就是两个函数分别取最大值的点之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。
再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题,只要在直角坐标系中结合所给条件做出函数y=f(x)及y=1-x在[0,1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点,这就是所证结论,重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反,也就是差函数在两个端点的值是异号的,零点存在定理保证了区间内有零点,这就证得了所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话,转第三步。

第三步,逆推法
从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题,该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题:即从结论出发构造函数,利用函数的单调性推出结论。
在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系,正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性,非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况),这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性,再用一阶导的符号判定原来函数的单调性,从而得所要证的结果。
对于那些经常使用如上方法的考生来说,利用三步走就能轻松收获数学证明的10分,但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说,却常常轻易丢失10分,后一部分同学可以按“证明三步走”来建立自信心,以阻止考试分数的白白流失。

课程推荐